解决方案:内部收益率

解决方案:内部收益率

内部收益率存在性的探讨

从内部收益率的定义可知，它对应于一个单变量高次多项式的根（IRR的定义）。 单变量高次多项式的求根问题，即内部收益率多解或无解问题，是内部收益率指标的突出缺陷。 一个变量的高次多项式的实根的个数可以用笛卡尔准则来判断。 对于内部收益率的多解或无解问题，学界众说纷纭，但有些说法不妥，如“内部收益率不存在是由于再投资项目”，“当单变量高次多项式有多个解财务内部收益率内插法，但存在唯一正根时，这个正根就是项目的内部收益率”等。

这里着重讨论一元高次多项式的多根问题出现后内部收益率的存在与判断。 很容易证明，常规投资项目必然有内部收益率，而非常规投资项目无论一元高次多项式的解有多少，都不一定有内部收益率。 其原因显然与项目的投资结构和现金流总量密切相关，是项目投资的间断性（出现追加投资）造成的。

如前所述，根据内部收益率的定义，可以推导出其经济意义和再投资假设。 再者，通过对投资回收过程的验证，不难发现以下结论：进一步解释内部收益率（IRR）的经济意义——“即按内部收益率折算（ IRR），投资项目在整个生命周期内始终处于投资回收状态，而生命周期期间每年都有未回收的投资”，因为每年都有未回收的投资，所以不存在根本需要考虑项目收益的再投资。 这进一步验证了再投资假说。 诸如内部收益率解决方案的识别等问题必须基于此结论。

如前所述，大部分项目在建设期都是集中投资。 直至投产初期，仍可能入不敷出，净现金流为负。 但进入正常生产或达到产能后，收入大于支出，现金流量净额为正。 . 因此，净现金流量序列的符号在整个计算周期内仅由负值变为正值一次，我们将净现金流量序列的符号在计算周期内仅发生一次变化的项目称为常规项目。 对于常规项目，如果累计净现金流量大于零，一般会有正实数根，应该是项目的内部收益率。

在核算期间，如果项目净现金流量序列的符号多次正负变化，则称为非常规项目。 一般来说，如果生产期间有大量追加投资，或集中偿还某年的债务，或经营费用过高等，都可能导致净现金流量序列的符号发生多次变化，这构成非常规项目。 非常规投资项目的内部收益率方程显然不止一种解。 这些解决方案是否有真正的内部回报率？ 这需要根据内部收益率的经济意义进行检验：即用这些根作为收益率，看在项目生命周期内是否一直存在未收回的投资。

首先检查一个变量的高次多项式是否有正实数根。 如果有多个正实数根，则必须进行检验。 满足内部收益率经济意义的根源是项目的内部收益率； 如果只有一个正实数根，则可能是项目的内部收益率，也可能不是，也需要检验。 如果没有正实数根，或者所有实数根都不能满足内部收益率经济意义的要求，则该项目无解。 对于此类投资项目，一般而言，内部收益率法已经失效，不能用于项目评估和选择。

当非常规投资项目的内部收益率方程有多个根时，这些根中是否存在真实的内部收益率解，即解的存在性，不存在判别定理。 下面，就这个问题进行深入探讨。

对于非常规投资项目（或技术方案），若除初始投资外，还有多次追加投资或净现金流量为负（设K次，K≥1），则1元的高值度多项式产生倍数真正的根源。 为表述方便，这里引入两个概念：①追加投资维持期。 所谓追加投资维持期，是指追加投资（第k次，k=1、2、3、……、K）发生到整个投资项目寿命结束的时间。 特别地，当k=K时，指最后一次追加投资的维持期； 当k=0时，指投资项目的整个生命周期； ②追加投资的净现值。 是指第k次追加投资维持期内所有现金流量的折现总和（折现至第k次追加投资发生的初始时点），记为：NPVk(i)。

IRR 存在判别定理

当一元高次多项式（IRR定义公式）有多个根时（有M个正实根，分别为IRR1，IRR2，IRR3，...IRRM），其中，若有某一个正实根IRRm(m= 1,2 ,3,...,M) 可以使所有追加投资的净现值大于等于零，即：

NPVk(IRRm)≥0 k = 0,1,2,3,...,K

那么这个正的实根IRRm就是整个投资项目的内部收益率。

显然，当 k = 0 时，NPVk(IRRm) = 0。

定理证明

如果IRRm使某（k次）追加投资净现值NPVk(IRRm)<0（当k不为零时）。 说明第k次追加投资在维持期收益过低，IRRm贴现净现值为负财务内部收益率内插法，无法弥补本次追加投资。 对于它产生的亏空，需要把之前的投资全部收回来，有盈余来弥补。 这样，如果验证了整个投资回收过程，那么在本次追加投资的时间点之前，就会有剩余资金来弥补后期追加投资的不足。 投资项目在整个生命周期内不会一直处于投资回收状态，而是会出现部分盈余，不可能一直有未回收的投资，这与再投资假说一致，因此IRRm不是依据投资项目的内部收益率。

如果IRRm能够使每笔追加投资的净现值NPVk(IRRm)≥0，则能够保证投资项目在整个生命周期内始终处于投资回收状态，并且始终存在未回收的投资，则有相关内部收益率的经济意义与再投资假设一致，所以此时的IRRm为投资项目的内部收益率。

结论

结论1：当单变量高次多项式有重根时，可以用所有追加投资净现值NPVk(IRRm)≥0的准则来判断整个投资项目内部收益率的存在.

结论二：投资项目之所以没有内部收益率，是因为项目在维护期内追加投资的投资收益太低，无法弥补追加投资。

结论3：当一个单变量的高次多项式有很多根但只有一个唯一的正根时，不一定是项目的内部收益率。 需要用结论一来判断。