说说利息（三）——定期存款利息的秘密

说说利息（三）——定期存款利息的秘密

在上一篇文章中，我们谈到了存贷款业务中的五元模型。 核心自然是利息和利率，但计息方式/期限、提款周期和到期时间也是关键因素。 相关内容回顾请点击：

说说利息（二）——利息是怎么算的？

谈利息（一）——钱为什么能生利息？

今天我们继续上一期，重点说一下定期存款的利息计算。

不同期限定期存款比较

还记得小学老师教的：由于银行是按单利计算利息的，一年以上的年化利率低，一年以下的年化利率高。

那究竟是为什么？

其实这里的高低是有前提的，不同到期时间的定期存款不能直接比较。 别忘了，按照我们的五元利率模型，对于你来说，定期存款只有一个到期时间和一个计息周期，所以利率值已经不能再单独和这些存款比较了，到期时间是同样重要的因素，就是在什么时候可以取多少利息。 如果时间不对齐，就没有比较的基准，例如，你无法衡量 3 个月的灵活性与 1 年相比价值多少。 因此定时存款利率，我们在比较不同到期时间的定期存款时，实际上有一个默认的假设，即到期后可以以相同的利率无缝衔接下一期。 在这种情况下，我们有以下问题：

假设有3个月、1年、5年三种产品，年化利率为r，哪种产品的收益更高？

按照我们的假设，三者是通过复利计算的（超过一年按一年计息期计算，不足按到期时间作为计息期），等额利息一年存款利率总和为：

3 个月：(1 + r / 4) ^ 4 - 1

1 年：

5 年：(1 + 5r) ^ (1 / 5) - 1

显然，(1+r/a)^a-1是增函数，极限是与自然对数e有关的量。 则(1+br)^(1/b)-1为减函数，a为等效计息期与实际计息期之比，b为其倒数。 b的公式最好理解一下，因为实际计息期是等值计息期的倍数，所以这个比率的分母往往会是标准化年份。

可见，我们得到了小学老师教的结论：实际计息期越长，按实际计息期的复利计算的实际利率越低。等值利息计算期。 在上面的示例中，b = 5 具有 5 年期间的最低实际利率。

因此，在长期存款业务中，故意用比实际计息周期短的一年作为标准单利计算，实际上是变相增加复利下的利率价值成本非常低的方法。 夸张的宣传，银行实际收取的利息比你想象的要少一点。 当然，这根本不违法，也是行业的潜规则，但如果真的不懂，可能会吃这么点小亏。

值得注意的是，由于假设，这种比较是理想的。 比如3个月的Fixed Term，你不知道3个月后还有没有这个产品要手动提取利息再存入。 要达到人为复利的效果，即使有，也需要额外的人工成本； 对于5年期的固定期限，你计算的1年等值利率其实是没有意义的，因为你无论如何也提不出来。 而由于银行更喜欢存款时间更长、更稳定的存款，它们对存款人的流动性更差，银行愿意支付更多的利息。 即使等同多年后的年化利率相当，也低于3个月的复利。 上升的更高。

因此，在实际做生意时，利率只是考虑的起点。 单独比较利率时，由于计息方式（计息周期）、提款周期、到期时间约定均不同，我们大致采用1年的复利计息方式作为提款周期和到期时间。 一年以下的产品以原到期日为计息周期，一年以上的产品以一年为计息周期，利率勉强拉至同一水平比较他们的利率。 当然，理想化的假设和其他需要付出的成本，上面也有提到。 此比较仅供参考，实际需求以实际需求为准。 例如，如果你知道4年后你会需要这笔钱，那么无论5年期存款的利率有多高，都没有意义。

复利的极限在哪里？

从前面的公式可以看出，所谓的复利可以由银行在计息周期中自动加上，也可以人工执行。 虽然受到最短提款期的影响，但我们仍然感兴趣。 当最小提款期限无限小，有人反复存取款时，原来利率下的线性增长可以变成什么样的形式呢？ 它有增长上限吗？

假设银行活期存款24小时为你开通，最小取款周期无限小，存取款时间可以忽略不计，那么人为复利的理论极限为：

lim(n -> 无限)(1 + r / n) ^ n - 1 = e ^ r - 1

或者表示为微分方程：

dx / dt = 接收

求解：x = x(0)e ^ (rt)

因此，如果真的是理想的活期存款，可以随时存取，可以复利，则以T期为单位的利率增长率r得到的1T期后的实际利率为e^r - 1.

事实上，没有银行会允许你这样做。 这都是受计息周期和提款周期限制的。 提供这种损失的是傻子，因为太复杂了，看不懂，赚不到钱。 但事实上，消费者在一定程度上是可以做到的。 例如，他们每年将自己的一年期大额存单进行再投资，5年后复合成等值的5年期大额存单。 不过不用担心，虽然5年期大额存单的等值复利低于公布的单利，但还是比你做的要高很多。 但是，银行不会承认给你做过再投资业务，而是会给你奖励。 你和我在一起很久了，后者听起来更亲密。

顺便回顾一下现在的情况。 一般来说，利息按季度计算。 一旦提前提款，未计算的部分将计算单利。 其他整数利息期已经复利。 另外，取款周期也是1天，也就是说你用人工复利计算可以达到的等价最小计息周期是1天，每分钟清零，因为还不到1天，而我的财富自由计划又要泡汤了。 .

顺便提醒一下，支付宝上的货币资金和目前各家银行的理财产品每天给你看的是日收益，都是按日计算的复利年化利率，非常接近无限制存款和取款。 最终实现了逼近指数复利增长的结果。 但是按日计息，提前一年支取的利息是低于单利的，因为复利增长的特点是先慢后快，所以当终点相同的时候，终点的钱会低于单利。 所以定时存款利率，别以为天天算利息很酷，但还是虚报了一个年化收益率，就像报了3个月定期按复利计算的年化收益率，这里是实际的计息周期短得多。 越短，差异越大。 但对于消费者来说，这笔钱几乎可以忽略不计，因为利率本身就很低，而对于金融机构来说，这可能不是一笔小数目。

兴趣模型总结

从数学模型的角度，最后总结一下。 存款和贷款的本质是一样的，只是方向相反。 利率是利息相对于本金的增长率，因此利息与时间和本金成正比。 同时规定了计息方式，一般按照一定的计息周期进行复利计算。 在计息周期中，还有一个最小提款期限，用户可以在这个期限内根据存取款行为进行手动复利，最后还有一个指定的到期时间。 在理想的无限小取款周期条件下，人工复利所能达到的等价利率为e^r-1。当r不大时，这个数字不会比r高多少。 在实际操作中，我们应该从银行给出的条款中找出利率、计息方式、最低计息期、取款期和到期时间，这样我们就可以计算出银行的这款产品是否能满足你的资金管理需求，哪一个可以最大化您的回报。

最后，在一个等值（年化）周期T的计息周期内，单利r计算、实际复利计算、理想复利计算、手动n存取款复利和理想手动复利下的资金增长 实际情况。 公式及示意图如下：

M1 = r / T * t + 1

M2 = (r + 1) ^ (t / T), t = T / n, 2T / n, ..., T

M3 = e ^ ((ln(1 + r) / T) * t)

M4 = (1 + r / n) ^ nt / T, t = T / n, 2T / n, ......, T

M5=e^(r/T)*t

图1：不同计息情况下的基金等值增长图

可以看到在一个计息周期内，单利计息的利息要多于复利，并且在n次复利计息的情况下，计息点的资金价值与理想情况相同复利值，也就是因为对于同一个终点，在相同的时间跨度之后，两者都保持相同的资本比率。 这是指数函数的本质，但n次复利只是一个抽样结果； 利息周期非整数部分的单利计算高于理想的复利； 人工复利模式下，复利频率越高，实际利率越高，也有自己的上限，不是无限递增。