具有股权稀释和债务杠杆的可转换债券定价

具有股权稀释和债务杠杆的可转换债券定价

文章编号：1001-4098(2012) 06-0059-06 具有股权稀释效应和债务杠杆效应的可转债定价?廖平康，张卫国，谢百帅，张晓丽（华南理工大学工商管理学院，广东广州510640) 摘要：股权稀释效应和债务杠杆可以通过改变股权价值和风险影响可转债的价值，进而对可转债的定价产生综合影响。 本文以权证定价模型为基础，建立了包含可转债稀释效应和杠杆作用的可转债定价模型，并探讨了债务杠杆作用下基于MM理论的波动率修正方法。 理论分析和数值实例表明，可转债价值受稀释效应和杠杆效应的共同影响，稀释效应和杠杆效应分别对可转债价值产生正向和负向影响。 在可转债定价中考虑稀释效应和杠杆作用及其修正方法，为可转债定价提供了一种新的思路。 关键词：可转换债券； 定价研究； 权证定价模型； 稀释效应； 杠杆 赋予其持有人在一定期限内按约定条件将其转换为一定数量股票（通常是发行新股）的权利的公司债券。 可转换债券是一种复合型金融产品，具有公司债券和权证的双重性质。 可转换债券的定价需要同时考虑债券的性质和权证的性质。

可转债行权时会增加公司的股份数量，从而改变原有的股权结构，可能导致股价下跌，从而产生稀释效应。 同时，作为长期投资债（我国的可转债通常为投资可转债），其投资和杠杆可能会改变股权的预期收益，同时也会增加股权的风险。 可转换债券的稀释效应和杠杆作用可能对可转换债券的价值产生影响。 可转换债券的稀释效应和杠杆效应对其价值的影响引起了学者们的关注。 刘易斯等。 (2002)实证表明，受债务杠杆的影响，可转债发行后公司股权整体风险增加，股票波动性增加[1]。 Roland and Hubert（2010）认为，可转债的使用决定了稀释效应和杠杆对可转债价值的影响，投资可转债的稀释效应和杠杆会对股价产生综合影响，进而影响可转换债券的价值。 值[2]。 文献[2]及其部分参考文献对可转债的稀释效应和杠杆作用进行了实证研究，验证了文献[2]的观点。 然而，现有文献大多将可转换债券的转换权视为一种选择权，而没有考虑可转换债券的稀释效应和杠杆作用，包括 Ingersoll (1977)、Brennan 和 Schwartz (1980)、T siveriotis 和 Fernandes (1998) 等经典文献定价模型 [3-5]。

Galai 和 Schneller (1979), Lauterbach 和 Schultz (1990), Zhang 等人。 等(2009)研究了具有稀释效应的权证定价模型和算法，为具有稀释效应的可转债定价提供了参考[6-8]。 Kevin(1998)在其专着[9]中阐述了基于Gailai-Schneller权证定价模型的具有稀释效应的可转换债券定价方法。 尽管凯文的模型处理了可转换债券的稀释效应，但它忽略了债务杠杆可能产生的影响。 现有研究大多没有考虑可转债的稀释效应和杠杆作用，或者只考虑稀释效应而没有考虑债务的杠杆作用。 为综合考虑可转债的稀释效应和杠杆作用，本文建立了包含股权稀释效应和债务杠杆的修正的可转债定价单因素模型，旨在探索更符合可转债杠杆的可转债定价模型。市场并分析稀释效应和杠杆机制。 本文的其余部分安排如下：首先，简要介绍基于Galai-Schneller理论的可转债定价模型，并考虑稀释效应； 对Galai-Schneller理论定价模型的历史波动率进行修正，建立包含稀释效应和杠杆综合效应的可转债定价修正模型； 最后，利用理论推导、数值实例和中国市场实例对不同模型的初步结果进行分析 第30卷第6期（共222期） Systems Engineering 2012年6月 Systems Engineering Vol. 30 号 6 月 6 日。 , 2012?收稿时间：2011-12-23; 修订日期：2012-02-16 基金项目：国家社科基金重大（招标）项目（11&ZD156）； 广东省高等学校珠江学者岗位计划项目 作者简介：廖平康（1987-），男，广东韶关人，华南理工大学工商管理学院硕士研究生，研究方向：金融工程与风险管理； 张卫国（1963-），男，陕西安康人，华南理工大学工商管理学院教授，??博士生导师，研究方向：金融工程、投资组合； 谢百帅（1987-），男，湖北天门人，华南人 张晓丽（1988-），女，湖北襄阳人，华南理工大学工商管理学院研究生，研究方向：金融工程。

对定价结果进行分析比较，进一步揭示稀释效应和杠杆作用对可转债价值的影响机制。 2 GS 具有股权稀释效应的可转债定价方法 可转债转股权可视为美式认购权证，不带股息的美式认购权证与带股息的欧式认购权证价值相同状况。 由于可转债的久期普遍较长，大部分股票不派息是不现实的。 但大部分可转债都有相应的转股价格修正条款，在派发股息后调整转股价格，基本消除了股息对可转债的影响。 在不考虑转售和赎回条款的情况下，可转债的转股权仍可视为不派息的美式认购权证。 由于可转债与美式看涨期权具有相似的特征，因此一种不考虑稀释效应和杠杆作用的可转债常用定价方法是将BS期权定价公式[10]直接应用于可转债定价。 可转换公司债券的价值表是一张公司债券价值与若干可转换股票价值之和（简称BS法）。 受BS法对可转债定价的启发，Kevin（1998）[9]在Gailai-Schneller权证定价模型[6]的基础上，提出了一种具有稀释效应的可转债定价方法（简称GS法）。 该模型借鉴了可转换债券的价值分为两部分的事实：纯债券和转换权。 纯债券部分受公司股票波动影响较小，可以忽略不计，因此不受股权稀释效应的影响。

我们采用风险溢价的形式来反映债券部分的违约风险补偿，并将债券的折现率修正为无风险利率加上风险溢价。 纯债部分仍采用普通公司债的定价公式，在时间t（以发行日为0时，0≤t≤T），纯债部分的价值公式表示为Bt=∑[T- t]n= 0I[ t+ n+ 1 ](1 + r + rc)T- t- [T- t] + n+F( 1 + r + rc)T- t( 1) 其中，T为有效性为可转债期限，In为第n年 F为可转债面值，[t]为不超过t的最大整数，r为无风险收益率，rc为风险溢价水平公司（或类似公司）发行公司债券。 在可转换债券到期日（时间 T），股权价值为 VT。 可转债到期行权后，公司可转债负债转为所有者权益。 如果换股比例为k，公司在到期日的股权价值将增加到VT+MF=VT+MkX，股数也从N股增加到N+Mk股。 因此，到期日所有期权行权后，可转债股价立即变为VT+MkXN+Mk，所以可转债持有人实际VT+MkXN+Mk-X=实际收益为kNkN + MkVTN-X。

且由于持有人只有在转股收益为正时才会选择行权，因此到期日每份可转债的转股权价值为maxN kN + MkVTN- X , 0 ，可转换债券的价格是基于VN的N kN + M k 看涨期权的价格（V是公司的股权价值）。 假设公司股票的价值完全反映了公司股权在到期日前的价值，即V=NS。 由于 k = F/X ，每只可转债转股权的定价公式为?2S2(T - t)?ST - td2 = d1- ?ST - t(2) 其中，?(x)为标准正态分布的累积分布函数，即?(x) =12?∫结合纯债券价值（1）和转换价值（2）得到可转换债券的整体价值x-∞e-x22dx。 即CBGSt=Bt+CGSt(3)GS法与BS法的区别在于转让股权价值的Ct部分，纯债券部分相同。 BS法可转债价值为CBSt=FX{St?(d1)-Xe-r(Tt)?(d2)} (4) 相应地借钱杠杆效应有哪些，可得到BS法计算的可转债价值CBSt。 不难看出，GS法实质上修正了原BS法框架下股权转让部分价值的股权稀释效应，而纯债券部分的价值无需修正，因为它是不受稀释效应的影响。

这种思路和修正方法也可以推广到可转债的双因素定价模型中，这里不再详述。 3. GS方法的债务杠杆和波动率修正第2节介绍了具有股权稀释效应的可转债定价模型，未考虑债务杠杆。 债务的增加会改变财务杠杆（增加负债率），增加公司股权的风险，从而改变公司股权价值的波动性，进而对公司股票收益的波动性产生影响。 由于风险的变化会对波动率产生影响，这启发我们通过修正波动率来反映债务杠杆对可转债定价的影响。 与稀释效应类似，债务杠杆对纯债券价值几乎没有影响，但仅对转换后的股权价值有影响。 因此，基于GS模型的定价公式中的波动率应采用可转债发行后的股票波动率，或对发行前的历史股票波动率进行适当调整。 MM理论[11-12]关于债务杠杆对公司资金成本和风险影响的讨论为我们提供了参考。 为简化讨论而不失一般性，在BS理论基本假设的基础上增加如下假设： ?可转债为面值发行，本次可转债发行后公司经营效率和风险未发生变化，公司募集资金收益水平和风险与发债前相当； 其他可转换债券或权证； ?该市场是一个有效市场，即股票价值充分反映当前的总权益价值，总负债充分反映当前的债务市场价值。

基于以上假设和MM理论的原理及其推导，历史波动率可以简化为如下 命题1 令E和D0分别为发行债券前公司股权的市场价值和公司债务的市场价值，以及D1为可转债总量。 假设公司发行可转债前后股票收益的波动率分别为?m和?h，企业所得税税率为?(0≤?<1)，则?m=E+(D0+D1)(1 - ?)E + D0( 1 - ?)?h=N S0+ ( D0+ MF) ( 1 - ?)NS0 + D0(1 - ?)?h ( 5)证明 令 r0 和 r1 为之前的股本回报率 和公司发债后，ru 和 ?u 分别为无债企业在相同条件下的收益和波动率，rd 为公司债务的平均利率，此时公司的权益资本没有变化债务发行。 根据MM理论及其推导借钱杠杆效应有哪些，在征收企业所得税的情况下，发债前收益率有如下关系： r0= ru+D0E(ru- rd) ( 1 - ?)=E + D0(1 - ?)Eru -D0(1 - ?) E2Var[ru]=E + D0( 1 - ?)E?u2 同理可得可转债发行后的波动关系： ?2m= Var[r1]=E + (D0+ D1) (1 - ?)E?u2=E + (D0+ D1) (1 - ?)E + D0( 1 - ?)?h2 则我们得到债券发行前后的波动率关系：?m= E + (D0+ D1) (1 - ?)E + D0(1 - ?)?h=N S0+ ( D0+ MF) ( 1 - ? )NS0 + D0(1 - ?)?h 因此，修改后的定价模型可转债（简称MG-S法）可以得到同时考虑股权稀释效应和债务杠杆效应： CBMGSt= Bt + CMGStBt = ∑[T- t]n= 0I[ t+ n+ 1]( 1 + r + rc)T- t- [T- t]+ n +F(1 + r + rc)T- tCMGSt=N FN X + MF{St?( dm1) - Xe- r(T- t)?( dm2) }dm1 =lnStX+r +?22m(T - t)?mT - tdm2= dm1 - ?mT - t?m=N S0+ ( D0+ MF) ( 1 - ?) N S0 + D0 (1 - ?)?h (6) 历史交易 n 上市公司的股价可以通过交易系统记录的信息读取，而债务信息可以通过近期的财务公告或可转债发行公告读取（这些信息可能与当时的真实价值有一定偏差债券发行），然后可以近似地估计基于历史波动率的修正波动率。

若股价数据包含发行前后股价数据，分别计算发行前后波动率，修正发行前波动率，修正发行后波动率，则权重是根据时间的比例来计算的。 两者的加权平均值作为模型的波动率。 值得注意的是，上述修正模型仅针对历史波动率法确定股票波动率。 如果使用隐含波动率，由于隐含波动率往往是发行后的动态波动率，通常不需要修改包括杠杆在内的隐含波动率。 4 模型分析比较 对于欧式看涨期权定价的BS公式，其确定的期权价值是股票波动率的增函数，股票风险较大的期权比风险较小的期权在同等条件下具有更高的价值状况。 在使用历史股票数据计算波动率的情况下，GS法直接使用历史波动率计算可转债转股权的价值，即?S=?h。 由于?m=NS0 + (D0 + MF) (1 - ?)N S0+ D0( 1 - ?)?h=1 +( 1 - ?) M FN S0+ D0( 1 - ?)?h> ?h= ?S，所以可以得到不同方法确定的可转债价值不等式关系：St?(d1) - Xe- r( T- t)?(d2) < St?(d1m) - Xe- r (T- t)?(d2m)CMGSt> CGSt, CBMGSt> CBGSt(7 ) 并且因为N FN X + MF=NN +MFXFX<FX，很容易证明CGSt < CBSt 和CBGSt < CBBSt (8) 很容易找到通过式（7）和式（8）。 齐廖平康，张伟国等：在具有股权稀释效应和债务杠杆的可转债定价情况下，GS法确定的可转债价值低于BS法确定的可转债价值，而可转债价值MG-S 法测定的键值低于 BS 法测定的键值。 可转债价值高于GS法，但MG-S法与BS法难以比较。 稀释效应对可转债价值产生负面影响，而杠杆效应对可转债价值产生正面影响。 两者的综合作用决定了可转债的最终价值。 稀释效应和杠杆效应直接决定了彼此的强弱...